Ото

договір оренди екіпажу( водія) без транспортного засобу.
Уже водителей арендуют

Я думаю, что нет, Вы этого не можете сделать. Вся работа с персоналом, к коему относятся и водители, лежит исключительно в плоскости КЗОТА. Т.е. Вам однозначно необходимо было оформлять взаимоотношения через центр занятости.
Как вариант - составить задним числом трудовой договор, который Вы, в соответствии с законодательством, все равно должны зарегистрировать с течении 7 (или 10 - лень лезть в нормативку) дней в этом самом центре занятости.
Указанный Вами вид договора не прокатит.

Имхо
Пока писал, Лоер Транспорт дал интересные пути выхода из ситуации. Там тоже есть нюансы, но все-таки.
Спасибо. Честно говоря, именно это направление не зондировал.