Могёт быть и сам стартер, втягивающее реле. Так бывает, на стартере отвёрткой замкнуть - заводится, а с ключа - никак. Я бы, всё же, очень старательно обследовал клеммы и провода. Бывает, что на каком-то подгоревшем или окислившемся соединении слабый ток ещё проходит, а сильный(при включении стартера) - уже нет. Клеммы на АКБ, на стартере, выключателе массы(если есть), соединение непосредственно клеммы с проводом...